Наука "Логика". Алгебра логики

Логика как наука

Логика - наука, входящая в раздел философии, сформированная на основе интеллектуальной познавательной деятельности. Так как логика является результатом мозговой деятельности, она напрямую коррелирует с мышлением человека. Исходя из того, что мышление основывается на рассуждениях, требующие доказательства и опровержения, логика может выступать в роли науки о рассуждениях. Другими словами, когда человек рассуждает логически, он пытается найти истину в цепочке событий.

Основателем логики является знаменитый античный философ Аристотель. Несмотря на то что, первые упоминания о логике появились в Греции, они опирались на рассуждения арабских философов и европейских мыслителей. В дальнейшем логика развивалась во многих культурах, тем самым формируя исторические и региональные формы логики:

• Китайская логика;
• Логика средневековья;
• Традиционная логика;
• Античная логика;
• Арабская логика;
• Диалектика;
• Современная логика.

Основные инструменты логики: понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

Понятие - мысль, описывающая признаки какого-либо предмета. Основополагающими компонентами понятия являются объем и содержание.

Объем понятия определяет множество объектов, входящих в это понятие. Например, объем понятия "человек" составляет совокупность всех людей, независимо от их расы, национальности, традиций и т.д.

Содержание, являясь обратным объему, описывает совокупность признаков, присущих данному понятию. Например, содержание понятия "треугольник" основывается на наличии у фигуры трёх углов и трёх сторон.

Суждение - форма мышления, позволяющая утверждать или отрицать связь между предметом и его признаками. Суждения бывают простыми и сложными. Простые суждения формируются на основе строгого утверждения или отрицания. Например: "Данный объект - самолет". Сложное суждение дает смутное представление о предмете. Например: "Вася подарит эти цветы либо маме, либо бабушке." Суждения помогают: раскрывать связи между предметом и его признаками, устанавливать отношения между объектами, утверждать или отрицать какие-либо понятия.

Умозаключение - это логическое заключение, состоящее из нескольких простых мыслей (посылов), в определенной последовательности. Логика описывает умозаключения с помощью схемы:

Рисунок 1. Схема умозаключения

С помощью данной схемы вы сможете прийти к абсолютно любому умозаключению.

Доказательство - это процедура нахождения истины в том ли ином предмете по его признакам. Как правило, доказательство трактуется в форме обоснования различных утверждений.

Алгебра логики

Алгебра логики - раздел математики, изучающий различные логические операции над высказываниями. Предполагается, что высказывания бывают ложными или истинными, иными словами высказывания основаны на бинарной логике.

Высказывания состоят из множества, имеющего такие элементы как конъюнкция и дизъюнкция.

Конъюнкция - логическая операция связанная с союзом "И".

Дизъюнкция - логическая операция связанная с союзом "ИЛИ".

Большинство примеров логических операций демонстрируются на множестве "В", состоящий из двух компонентов: "ЛОЖЬ" и "ИСТИНА". Всякие логические операции строятся на том, что "ЛОЖЬ" выступает в роли логического нуля, а "ИСТИНА" - логической единицы. Конъюнкции и дизъюнкции определяются в привычном нам понимании.

Логика высказываний явилась главным математическим средством при создании компьютеров, так как она легко трансформируется в битовую систему компьютера. Так, истинность любой операции составляет один бит (01).

Выделим основные свойства логических операций:

• Коммутативность (перемещение чисел без изменения конечного результата);
• Идемпотентность (сохранение первоначального результата);
• Ассоциативность (сочетательное свойство, не зависящее от расстановки скобок);
• Дистрибутивность (распределительный закон, также независящее от расстановки скобок).

Современная логика помимо алгебры логики, включает предикаты и металогику.

Предикат - это утверждение, построенное на высказывании субъекта. Предикаты, подобно высказываниям имеют ложное и истинное значения, поэтому к ним применимы большинство операций логики высказываний. Обычно предикаты записываются в виде формул или сигнатур:

Рисунок 2. Предикат

Металогика в отличие от простой логики, которая представляет собой операцию нахождения истины, проводит исследование свойств логической системы. Область исследования металогики обширна: формальные языки, формальные системы и интерпретации. Изучение интерпретации формальных систем является задачей раздела математической логики, известного как теория моделей. Частные вопросы металогики были выявлены ещё во времена Аристотеля, однако бурное развитие металогики произошло в XIX веке, благодаря появлению формальных языков. В начале ХХ века немецкий математик Д. Гильберт заметил закономерность между исследованиями основ математики и логических понятий. Оказалось, что данные исследования не могут обойтись без логических понятий, которые являются фундаментом любых математических вычислений и операций.